TYT Matematik: Bölünebilme Kuralları (Konu Anlatımı ve Çözümlü Sorular)

Bölünebilme kuralları, TYT'de tek başına soru olarak çıkmasa bile pek çok sorunun içinde gizli bir araç olarak karşına çıkar: EBOB-EKOK, asal çarpanlar, rakam problemleri ve modüler aritmetik sorularının çoğu bu kuralları hızlı uygulamayı gerektirir. İyi haber şu — bu kuralların hepsi ezberlenebilir ve mantığı bir kez oturduğunda unutulmaz. Aşağıda her kuralı örnekle, sonunda da TYT tarzı çözümlü sorularla ele alıyoruz.

Temel Mantık

Bir sayının başka bir sayıya tam bölünmesi, bölme işleminde kalanın sıfır olması demektir. Bölünebilme kuralları da bu kalanı, uzun bölme yapmadan hızlıca anlamamızı sağlayan kısayollardır.

2'ye Bölünebilme Kuralı

Sayının birler basamağı çift (0, 2, 4, 6, 8) ise sayı 2'ye tam bölünür. Örnek: 3.174 sayısının birler basamağı 4, yani çift olduğundan 2'ye bölünür.

3'e Bölünebilme Kuralı

Rakamların toplamı 3'e bölünüyorsa sayı da 3'e bölünür. Örnek: 5.121 sayısında 5+1+2+1=9, 9 üçe bölündüğünden sayı da 3'e bölünür.

4'e Bölünebilme Kuralı

Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'e bölünüyorsa (ya da "00" ise) sayı 4'e bölünür. Örnek: 7.316 sayısında son iki basamak "16", 16 dörde bölündüğünden sayı da 4'e bölünür.

5'e Bölünebilme Kuralı

Birler basamağı 0 veya 5 ise sayı 5'e bölünür. Örnek: 2.480 ve 9.135 sayılarının ikisi de 5'e bölünür.

6'ya Bölünebilme Kuralı

Sayı hem 2'ye hem 3'e bölünüyorsa 6'ya da bölünür. Örnek: 4.128 sayısı çift olduğundan 2'ye, rakam toplamı 4+1+2+8=15 olduğundan 3'e bölünür, dolayısıyla 6'ya da bölünür.

8'e Bölünebilme Kuralı

Son üç basamağın oluşturduğu sayı 8'e bölünüyorsa (ya da "000" ise) sayı 8'e bölünür. Örnek: 12.320 sayısında son üç basamak "320", 320 sekize bölündüğünden (320 = 8 × 40) sayı da 8'e bölünür.

9'a Bölünebilme Kuralı

Rakamların toplamı 9'a bölünüyorsa sayı da 9'a bölünür. Örnek: 6.813 sayısında 6+8+1+3=18, 18 dokuza bölündüğünden sayı da 9'a bölünür.

10'a Bölünebilme Kuralı

Birler basamağı 0 ise sayı 10'a bölünür.

11'e Bölünebilme Kuralı

Rakamları sağdan sola sırayla artı, eksi, artı, eksi diye işaretleyip topla. Sonuç 0 veya 11'in katı ise sayı 11'e bölünür; sonucun negatif çıkması sorun değildir, −11 de 11'in katıdır. Örnek: 8.591 sayısında (1)-(9)+(5)-(8)=-11, bu 11'in katı olduğundan sayı 11'e bölünür.

12'ye Bölünebilme Kuralı

Bir sayı 12'ye bölünüyorsa hem 3'e hem 4'e bölünmelidir; 12 = 3 × 4 ve 3 ile 4 aralarında asal olduğundan iki kuralın birlikte sağlanması yeterlidir. Örnek: 2.316 sayısının son iki basamağı "16", 16 dörde bölündüğünden sayı 4'e bölünür; rakamları toplamı 2+3+1+6=12, 12 üçe bölündüğünden sayı 3'e de bölünür. Dolayısıyla 2.316 sayısı 12'ye tam bölünür (2.316 = 12 × 193).

Bileşik Sayılara Bölünebilme

15, 18, 24 gibi bileşik sayılara bölünebilmeyi ayrı ezberlemene gerek yok. Sayıyı aralarında asal çarpanlarına ayır: 18 = 2 × 9 olduğundan, bir sayı 18'e bölünüyorsa hem 2'ye hem 9'a bölünmelidir; 24 = 3 × 8 olduğundan 24'e bölünen bir sayı hem 3'e hem 8'e bölünür.

Çözümlü Sorular

Soru 1: "3A4" üç basamaklı sayısı 3 ile tam bölünebiliyorsa, A yerine kaç farklı rakam gelebilir? Çözüm: 3 ile bölünebilme için rakamlar toplamı 3'e bölünmeli. Rakam toplamı = 3+A+4 = 7+A. Bu toplamın 3'e bölünmesi için 7+A değeri 9, 12 veya 15 olabilir, yani A değeri 2, 5 veya 8 olabilir. A bir rakam olduğundan (0-9) üçü de geçerlidir. Cevap: 3 farklı değer.

Soru 2: Aşağıdaki sayılardan hangisi hem 4'e hem 9'a bölünür? A) 3.612 B) 5.148 C) 7.234 D) 8.140 E) 2.925. Çözüm: Önce 9 filtresi (rakam toplamı 9'un katı) daha ayırt edicidir: 5.148 sayısında 5+1+4+8=18, 9'a bölünür; 2.925 sayısında da 2+9+2+5=18, 9'a bölünür — ama 2.925'in son iki basamağı "25", 25÷4 tam bölünmediğinden 4'e bölünmez, elenir. 5.148'in son iki basamağı "48", 48÷4=12 olduğundan 4'e de bölünür. Diğerlerini kontrol edince 4 ve 9 şartını aynı anda yalnızca 5.148 sağlar. Cevap: B) 5.148.

Soru 3: "1B2B" dört basamaklı sayısı 11 ile tam bölünüyorsa B kaçtır? (B bir rakamdır.) Çözüm: Sağdan sola işaretleyelim: birler (+B), onlar (-2), yüzler (+B), binler (-1). Toplam = B-2+B-1 = 2B-3. Bu ifade 0 veya 11'in katı olmalı. 2B-3=0 için B=1,5 çıkar, bu bir rakam olmadığından geçersizdir. 2B-3=11 için 2B=14, B=7 çıkar ve bu geçerlidir. 2B-3=-11 için 2B=-8 çıkar, bu da geçersizdir. Cevap: B=7 (sayı 1727 olur; kontrol: 7-2+7-1=11).

Kısa özet: 2, 5, 10 için birler basamağına; 3, 9 için rakam toplamına; 4, 8 için son basamaklara; 11 için alternatif toplama bak. 6, 12, 15 gibi sayıları aralarında asal (birbirini bölmeyen) çarpanlarına ayırıp (12=4×3 gibi) parça parça kontrol et — düz asal çarpanlara ayırmak (12=2×2×3 gibi) yeterli değildir, çünkü 6 sayısı hem 2'ye hem 3'e bölünür ama 12'ye bölünmez. Bu kuralları hızlı uygulamak, TYT'de sana saniyeler kazandırır — ve sınavda saniyeler nettir.

Bu konuyla ilgili daha fazla soru çözmek istersen, Bilge Arena'da bölünebilme sorularını oyunlaştırılmış modda çözerek puan kazanabilirsin.